Chapter 2. ALU

Properties

📝2023.09.04

주요 개념: 이진수, 이진 덧셈, 2의 보수법, 반 덧셈, 완전 덧셈, n비트 덧셈, 카운터, 산술 논리 유닛(ALU), 조합 논리.

Unit2.1 : Binary Numbers

0과 1로 무엇을 할 수 있을까?

Binary

Decimal

Decimal → Binary

87을 입력 받았다면 이것을 이진수로 변환 할 수 있어야한다.
87 = 64 + 16 + 4 + 2 + 1
→ 1010111

이렇게 사용자가 입력한 10진수의 숫자는 컴퓨터 메모리에 최종적으로 저장 될 때 2진 코드로 변환되어 저장된다. 이 값을 화면에 표시 하라고 컴퓨터에 명령 하면, 이런 과정을 거치게 된다.

컴퓨터 운영체제는 10011이 나타내는 10진수를 계산한다. → 19
운영체제는 이 정수 값을 두 개의 문자 1과 9로 변환한다.
현재 글꼴을 조회 하여 화면에 렌더링 하기 위한 두 개의 비트맵 이미지를 만든다.
운영체제는 스크린 드라이버를 통해 픽셀을 끄거나 켜고, 화면에 19라는 이미지가 나타난다.
- 여기까지 몇 백분의 1초도 안걸린다.

고정 단어 크기

컴퓨터는 숫자를 표현하는 데 고정 단어 크기를 사용해야 하는 유한한 기계다.

단어크기(word size)란

컴퓨터가 기본 정보 단위(이 경우에는 정수 값)를 표현하는 데 사용 하는 비트 수를 가리킨다.

보통 정수를 표현 하는 데 8, 16, 32, 64 비트 레지스터가 사용 됨.

음수가 아닌 정수만을 표현 하려고 했을 때 일반적으로 n비트가 있으면 2^n - 1 까지 표현 할 수 있다.

8bit) 2^8 - 1 = 256 -1 = 255

그렇다면 고정된 레지스터 크기가 허용 하는 최대 최소 값 보다 더 크거나 작은 값은 어떻게 표현할까?

→ 모든 고수준 언어는 실제 우리가 원하는 만큼 크거나 작은 숫자를 처리 하는 추상화 기법을 지원한다.

숫자를 표현 하는 데 필요한 만큼 n비트 레지스터를 묶는 방식으로 구현 됨
여러 단어로 구성된 숫자에 산술 및 논리 연산을 실행하는 것은 느린 작업이다.

→ 그렇기 때문에, 매우 크거나 매우 작은 숫자를 처리 할 때 만 이 기법을 사용 하는 것이 좋음

Unit2.2: Binary Addition

이진 덧셈은 십진수의 덧셈과 같은 방법을 사용한다. 0과 1만 존재 하는 이진수에서 더하여 1을 초과 하게 되면 오름수를 발생 시키고, 다음 자리에서 오름 수를 이어 받아 연산을 하게된다.

가장 오른쪽 숫자 = 최하위 비트(LSB)
올림 숫자 = 자리 올림 비트(carry bit)
가장 왼쪽에 위치한 숫자 = 최상위 비트 (MSB)

💡 각각 일반적인 고수준 데이터 타입인 Byte, Short, Int, Long에 해당한다. 예를 들어 기계 수준의 명령어로 내려가면 Short 변수는 **16비트 레지스터**로 처리된다. 16비트 산술 연산이 64비트 산술 연산보다 4배 빠르기 때문에 프로그래머는 늘 응용프로그램의 요구사항에 맞는 가장 간결한 데이터 타입을 사용 하는 것이 좋다.

→ 오버플로를 어떻게 처리 할지는 결정에 따른 문제로, 이 강의와 참고 교재에서는 오버플로를 무시한다.

Unit2.3: Negative Numbers

음수를 나타낼 땐 2^n - X 이며 이 때 X는 음의 정수이다.

Idea : $2^n - x = 1 + (2^n - 1) - x$

이렇게 수학적 공식을 이용 하여 계산 하는 것 보다 더 편리하고, 빠른 규칙이 존재한다.

이진수로 표현 된 음의 정수를 전부 뒤집고 1을 더하는 방식으로 현대 음수 표현방법에 많이 적용된다.

💡 수년 간 부호가 있는 숫자를 2진 코드로 표현하기 위한 코딩 체계가 여럿 개발 되었다. 그 중에서 오늘 날 거의 모든 컴퓨터에서 사용 되는 방식은 2의 보수법(two’s complement)으로 기수의 보수법(radix complement)이라고도 한다.

규칙 적용의 예시

Input: 4
- 4 → 0100 = 1011
- 1011 + 1 = 1100

수학적 공식을 이용한 풀이

Input: 4
1 + (15 - 1) - 4 = 12 = 1100

2의 보수법이 갖은 매력적인 성질

이 체계는 -(2^n-1) 부터 2^n-1 -1 까지 2^n 개의 부호 있는 숫자를 표기 할 수 있다.
음수 아닌 수의 코드는 모두 0으로 시작한다.
음수의 코드는 1로 시작한다.
x의 코드에서 -x의 코드를 구하려면, x의 최하위 0비트들과 처음으로 나타나는 최하위 1비트는 그대로 두고, 나머지 비트를 모두 뒤집으면 된다 → 0은 1, 1은 0으로 바꾼다)
- 또는, x의 모든 비트를 뒤집고 그 결과에 1을 더해주면 된다.

💡 곱셈부터 나눗셈, 제곱근까지 모든 산술 연산은 2진수 덧셈으로 구현된다. 따라서, 2진 덧셈 위에서 광범위한 컴퓨터 기능을 구현할 수 있다는 사실과, 2의 보수법을 이용하면 부호 있는 숫자들의 덧셈과 뺄셈에 특별한 하드웨어가 필요치 않다는 사실을 알 수 있다.