Chapter 1. Logic Gates

Properties

📝2023.08.28

Boolean Logic

Boolean Functions

f(x,y,z) = (x AND y) OR (NOT(x) AND z)

Commutative Laws : 교환 법칙
👉 x·y=y·x
x+y=y+x
AND나 OR 연산에서 순서가 바뀌더라도 그 결과는 같다. 즉, 0·1=1·0이고, 0+1=1+0
Associative Laws : 결합 법칙
👉 x·(y·z)=(x·y)·z x+(y+z)=(x+y)+z
교환 법칙과 유사하게 일반 수학에서의 규칙과 같습니다. 앞부터 순서대로 연산하거나, 뒤부터 순서대로 연산한다고 해서 결과가 달라지지는 않겠죠.
Distributive Laws : 분배법칙
👉 13 - x·(y+z)=x·y+x·z 14 - x+y·z=(x+y)·(x+z)
분배 법칙도 일반 수학을 생각하면 쉽지만, 조금 다른 점이 있습니다. 일단 13번 법칙은 우리가 알던 분배 법칙이라 어려울 점이 없습니다. 문제는 14번인데요, 참 이상하게도 +에 분배 법칙을 사용했습니다. 이는 일반 대수에서는 성립하지 않지만 불 대수에서만 성립하는 내용입니다.
아래에서 나올 듀얼 폼으로 증명하는 것이 가장 간단하지만, 우변의 식을 그대로 전개해보아도 성립한다는 것을 알 수 있습니다. (x+y)·(x+z)=xx+xy+xz+yz이고, 이는 다시 x(1+y+z)+yz로 정리할 수 있고, 1+y+z=1이므로 x+y·z가 되어 참임을 확인할 수 있습니다.
De Morgan Laws : 드모르간 법칙
👉 (x·y)'=x'+y' (x+y)'=x'·y'
드 모르간 법칙은 아마 집합을 공부하셨다면 다들 익숙하실 텐데요, 그것과 같습니다. 논리식 전체에 부정 연산을 할 경우, 각 변수에 NOT 연산을 하고, AND -> OR, OR -> AND 연산으로 바꿔주어야 합니다.

부울대수 (Boolean Algebra)

임의의 회로에서 일련의 기능을 수행 하기 위한 가장 최적의 방법을 결정하는 수식적 표현 방법

💡 NOT(NOT(x) AND NOT(x OR y))

NOT(NOT(x) AND (NOT(x) AND NOT(y)))
- 분배 법칙 (Distributive Laws) 적용되어 NOT(x OR y) → (NOT(x) AND NOT(y)
NOT((NOT(x) AND NOT(x)) AND NOT(y))
- 결합 법칙 (Associative Laws) 에 의해 NOT(x) AND (NOT(x) → (NOT(x) AND NOT(x)
NOT(NOT(X) AND NOT(y))
- 멱등 법칙 (Idempotence) 에 의해 NOT(x) AND NOT(x) → NOT(X)
NOT(NOT(x)) OR NOT(NOT(y))
- 이중 부정 법칙 (Double Negation Law) 에 의해 x OR y 로 값이 변하게된다.

논리게이트 참고 자료

Boolean Functions Synthesis

함수로 이루어진 논리 게이트를 통해 Truth Table을 만든다. 이 때, 각 경우의 수를 입력 하고 함수의 결과 값이 정해졌다면 당신은 논리게이트를 작성 할 수 있어야 한다.

Hardware Description Language

HDL로 프로그래밍을 하면 시뮬레이터로 구현 할 수 있다. 그렇게 하기 위해서는 당신의 논리 게이트 기능을 정의 하고, Truth table을 만들어 input과 output을 표현 해야한다.

당신이 만든 논리게이트의 다이어그램과 표를 만들면 이 칩이 어떤 일을 해야 하는지 이해할 수 있다.

HDL로 프로그래밍을 할 때 논리 게이트에 대한 이름, input, output을 모두 설정 해줘야한다. 이 것을 게이트 인터페이스라고 한다.

이렇게 만들어진 게이트 인터페이스가 만약 잘 구축 되었다고 하고, 남에게 주었다고 가정 해본다. 그러면 받는 사람이 사용 할 때는 output이 어떤 값인지만 알 수 있다. 지금까지 우리가 알던 테이블과는 다르며, 우리는 그 것을 보고 논리게이트를 어떻게 구현 했는지 유추 할 수 있다.